为什么说数列是特殊的函数

前言

函数特性

既然是按照一定的次序排列而成的一列数字，那么这些数字(\(a_n\))自然就是次序\(n\)的函数，所以我们学习数列时，首先就应该从函数的角度体会这个特殊的数学素材，即\(a_n=f(n)\)。不过和以前我们学习的函数有点不一样，比如\(f(x)=2x^2-3x+1，x\in [-2，16]\)，其图像是区间\([-2，16]\)上的连续曲线，没有间断的，而数列\(a_n=2n^2-3n+1\)，她的图像是一些离散的点，这些点并不能连成曲线，原因是自变量\(n\)的取值不是连续取值，意思是当\(n=3\)后，只能取\(n=4\)，不能取\(n=3.01\)或\(n=3.5\)等这些值。

特殊之处

其特殊性体现在以下几个方面：

其一、定义域比较特殊，数列的定义域是正整数集\(N^*\)或者正整数集的有限子集\(\{1，2，3，\cdots，n\}\)，注意数列中没有\(a_0\)项；

其二、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的最值和二次函数不一样；

其三、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的单调性和二次函数不一样；

典例剖析

已知\(a>0\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n=\begin{cases}(3-a)n-3，n\leq 7 \\ a^{n-6}，n>7 \end{cases}\)，数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列，求\(a\)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，\(\begin{cases} 3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{cases}\)，解得：\(a\in(2，3)\)

感悟反思：1、如果是一般的函数\(f(x)\)，则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系；

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=n^2-kn(k\in N)\)，且\(\{a_n\}\)单调递增，则\(k\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty，2]$ $B.(-\infty，3)$ $C.(-\infty，2)$ $D.(-\infty，3]$

考点：数列的单调性，二次函数的对称性和单调性，恒成立命题

【法1】：利用数列单调性的一般定义求解；

由于\(a_n=n^2-kn(n\in N^*)\)，且\(\{a_n\}\)单调递增，

所以\(a_{n+1}-a_n>0\)对\(\forall n\in N*\)都成立，

又\(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-k(n+1)-n^2+kn=2n+1-k\)，所以由\(2n+1-k>0\)，

即\(k<2n+1\)恒成立，可知\(k<(2n+1)_{min}=3\).

【法2】：借助数列对应的二次函数独特性质，如对称性和单调性求解

\(a_n=(n-\cfrac{k}{2})^2-\cfrac{k^2}{4}\)，其对称轴是\(n=\cfrac{k}{2}\)，

要使得\(\{a_n\}\)单调递增，

则必须且只需\(\cfrac{k}{2}<\cfrac{3}{2}\)，解得\(k<3\)，故选B。

【法3】：使用导数法求解，

由\(a_n=f(n)=n^2-kn\)为单调递增数列，则\(f'(n)\ge 0\)在\(n\in N^*\)上恒成立，

即\(f'(n)=2n-k\ge 0\)在\(n\in N^*\)上恒成立，分离参数得到，

\(k\leq 2n\)在\(n\in N^*\)上恒成立，即\(k\leq (2n)_{min}=2\)，

则\(k\leq 2\)。这个解法是错误的。

【错因分析】：若数列\(a_n=f(n)\)单调递增，但函数\(y=f(x)\)不一定单调递增；但是若函数\(y=f(x)\)单调递增，则其对应的数列\(a_n=f(n)\)必然单调递增。

感悟反思：1、法1转化为恒成立问题，很好理解；2、法2很容易错解为 \(\cfrac{k}{2}<1\)，故\(k<2\)，其实这是充分不必要条件，也就是说遗漏了一部分的解集，可以看看上面的图像解释。

已知数列\(\{a_n\}\)满足 \(a_{n+1}=a_n+2n\)，且\(a_1=33\)，则\(\cfrac{a_n}{n}\)的最小值为 【 】

$A.21$ $B.10$ $C.\cfrac{21}{2}$ $D.\cfrac{17}{2}$

考点：数列的单调性，对勾函数的单调性，

分析：选 C。由已知条件可知，当\(n\ge 2\) 时，

\(a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})=33+2+4+…+2(n-1)\)

\(=n^2-n+33\)， 又\(n=1\)时，\(a_1=33\)，满足此式。

所以\(\cfrac{a_n}{n} =n+\cfrac{33}{n} -1\)

令\(f(n)=\cfrac{a_n}{n}=n+\cfrac{33}{n} -1\)，则\(f(n)\)在\([1，5]\)上为减函数，

在\([6,+\infty)\)上为增函数，又\(f(5)=\cfrac{53}{5}\)，\(f(6)=\cfrac{21}{2}\)，则\(f(5)>f(6)\)，故\(f(n)=\cfrac{a_n}{n}\)的最小值为\(\cfrac{21}{2}\) 。

感悟反思：1、对勾函数的单调性我们必须掌握的非常清楚。2、参考阅读对勾函数

已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=a\cdot 2^{n-1}+\cfrac{1}{6}\)，则\(a\)的值为 【 】

$A.-\cfrac{1}{3}$ $B.\cfrac{1}{3}$ $C.-\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{1}{2}$

考点：等比数列的前\(n\)项和的性质，数列的函数特性

分析：选 A.

法1：当\(n\ge 2\) 时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=a\cdot 2^{n-1}-a\cdot 2^{n-2}=a\cdot 2^{n-2}，\)

当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=a+\cfrac{1}{6}\)，

又由于\(n=2\)时，\(a_2=a\cdot 2^{2-2}=a\)，公比为\(q=\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=2\)，故\(a_1=\cfrac{a}{2}\)

所以\(a+\cfrac{1}{6}=\cfrac{a}{2}\)，所以\(a=-\cfrac{1}{3}\)。选 A.

法2：将\(S_n=a\cdot 2^{n-1}+\cfrac{1}{6}\)变形为\(S_n=\cfrac{1}{2}a\cdot 2^n+\cfrac{1}{6}\)，
由引例可知，\(\cfrac{1}{2}a+\cfrac{1}{6}=0\)，解得\(a=-\cfrac{1}{3}\)。选 A.

感悟反思：1、等比数列的前\(n\)项和的性质引申：

【引例】已知等比数列的前\(n\)项和\(S_n=r\cdot 2^n-1\)，则\(r=1\)。

原因分析：由于等比数列的前\(n\)项和\(S_n=\cfrac{a(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a}{1-q}\times(1-q^n)\)，

如果令\(\cfrac{a}{1-q}=-c\)，则等比数列的前\(n\)项和\(S_n=cq^n-c\).由此可得，题目中的\(r=1\).

已知\(a_n=\cfrac{n-4}{n-\frac{9}{2}}\)，求数列\(\{a_n\}\)的最小项和最大项；

分析：我们依托数列所对应的函数\(f(x)=\cfrac{x-4}{x-\frac{9}{2}}=\cfrac{2x-8}{2x-9}=\cfrac{2x-9+1}{2x-9}=1+\cfrac{1}{2x-9}\)

做出其图像，其对称中心为点\((4.5，1)\)，

由图可知，当\(n\leqslant 4\)时，数列\(\{a_n\}\)单调递减，且有\(1>a_1>a_2>a_3>a_4\)；

当\(n\geqslant 5\)时，数列\(\{a_n\}\)单调递减，且有\(a_5>a_6>a_7>\cdots > 1\)；

故数列\(\{a_n\}\)的最小项为\(a_4\)，最大项为\(a_5\)；

已知数列\(\{a_n\}\)的通项为\(a_n=(n+1)(\cfrac{10}{11})^n\)，\(n\in N^*\)，

①求证：数列\(\{a_n\}\)先递增后递减；

证明：由于\(a_n=(n+1)(\cfrac{10}{11})^n\)，则\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{10}{11}(1+\cfrac{1}{n+1})\)

而函数\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{10}{11}(1+\cfrac{1}{n+1})\)是单调递减的，

令\(\cfrac{10}{11}(1+\cfrac{1}{n+1})=1\)，解得\(n=9\)，即\(a_9=a_{10}\)；

令\(\cfrac{10}{11}(1+\cfrac{1}{n+1})>1\)，解得\(n<9\)，即当\(n\leqslant 8\)时，\(a_{n+1}>a_n\)；

令\(\cfrac{10}{11}(1+\cfrac{1}{n+1})<1\)，解得\(n>9\)，即当\(n\geqslant 10\)时，\(a_{n+1}<a_n\)；

故数列\(\{a_n\}\)先递增，后递减；

②求数列\(\{a_n\}\)的最大项；

分析：由上述分析可知，\(a_1<a_2<a_3<\cdots<a_8<a_9=a_{10}>a_{11}>a_{12}>a_{13}>\cdots\)，

故最大项为\(a_9=a_{10}\);